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函數解析式
函數的表達方式之一
函數與函數解析式是完全不同的兩個(gè)概念。
函數是指兩個(gè)變量A與B之間，如果A隨著(zhù)B的每個(gè)值，都有唯一確定的值與之對應，那么A就是B的函數。從對應角度理解，有兩種形式：
1、一對一，就是一個(gè)B值對應一個(gè)A值，反之，一個(gè)A值也對應一個(gè)B值（當然，此時(shí)B也是A的函數）。
2、一對多，就是多個(gè)B值對應一個(gè)A值。（此時(shí)一個(gè)A值對應多個(gè)B值，所以B不是A的函數）。
再說(shuō)函數解析式，函數主要有三種表達方式：1、列表；2、圖象；3、解析式（較常用）。因此函數解析式只是函數的一種表達方式。
基本信息
| 中文名 | 函數解析式 |
| 外文名 | analytic expression |
| 表達方式 | 列表；圖象；解析式 |
簡(jiǎn)介
函數解析式（Analytic expression）
常用函數的解析式:
一次函數
注意：通俗地講，函數反映的是兩個(gè)變量直接的（變化）關(guān)系，嚴格地說(shuō)，函數是兩個(gè)數集之間的一種對應關(guān)系（映射）。而“規律”首先是一個(gè)（真）“命題”，而“命題”，在邏輯學(xué)指表達判斷的語(yǔ)言形式，由系詞把主詞和賓詞聯(lián)系而成。例如：‘北京是中國的首都’，這個(gè)句子就是一個(gè)命題。在現代哲學(xué)、邏輯學(xué)、語(yǔ)言學(xué)中，命題是指一個(gè)判斷（陳述）的語(yǔ)義（實(shí)際表達的概念），這個(gè)概念是可以被定義并觀(guān)察的現象。命題不是指判斷（陳述）本身。更進(jìn)一步，“規律”是事物、現象和過(guò)程內在的、本質(zhì)的必然的聯(lián)系。定律(Laws) 研究宇宙間不變的事實(shí)規律所歸納出的結論，不同于理論、假設、定義、定理，是對客觀(guān)事實(shí)的一種表達形式，通過(guò)大量具體的客觀(guān)事實(shí)經(jīng)驗累積歸納而成的結論。與“函數”概念相去甚遠，不應混淆。
另外，函數的“表達式”最好不要籠統的稱(chēng)為為“解析式”。因為很多函數并不解析（解析的概念在大學(xué)“復變函數”等課程中學(xué)習），為避免誤用，最好成為“表達式”，這樣更為妥當。
構成
主要有兩部分構成：1、表達式；2、自變量的表達范圍。例如：（1）
(2)
；顯然函數（1）和函數（2）雖然表達式相同，由于自變量范圍不同，所以是不同的兩個(gè)函數。有時(shí)，函數書(shū)寫(xiě)過(guò)程中，存在省略自變量范圍的形式：如：（3）
；(4)
；（5）
，這時(shí)它們的自變量范圍就是使表達式有意義的自變量的值。（3）的自變量范圍是：x為任意實(shí)數（注：這個(gè)概念我們默認在實(shí)數范圍內討論，下同）；（4）的自變量范圍是：
；（5）·的自變量范圍是：
。
概念思路分析
解釋函數概念；函數就是根據運算規則，“算式中最少有兩個(gè)互相影響的數值”，這兩個(gè)數值稱(chēng)為(變量)。其中一個(gè)是“自變量”（X），為什么叫“自變量”呢？因為這個(gè)數值可控，我們通過(guò)改變它來(lái)改變另一個(gè)變量（Y），另一個(gè)變量（Y）由于是受這個(gè)自變量（X）改變而得到的，所以另一個(gè)變量(Y)稱(chēng)為這個(gè)自變量(X)的函數（在初中舊版教材中稱(chēng)Y為因變量）！為什么叫“函數”？看這個(gè)詞的構成，“函”的意思是什么？
這個(gè)解釋正好又能解釋到“映射”，“不相隸屬機關(guān)”就是指這兩個(gè)變量，它們兩個(gè)之間相互工作，相互影響。映射這個(gè)定義實(shí)際是很容易解釋的，由于講的是一次函數，就不講牽涉到的知識了。由“函”字的解釋來(lái)看已經(jīng)可以看出“函數”這個(gè)詞足以代表這樣一類(lèi)的關(guān)系式，能看出自變量和函數之間的微妙的關(guān)系，所以就叫做“函數”了！咱們不管歷史人物怎么起名為“函數”，只看咱們怎么理解為什么叫做函數。（分析僅供參考）
一次函數
這個(gè)一次函數是最簡(jiǎn)單情況(也稱(chēng)正比例函數)，這個(gè)
也就是關(guān)于“一個(gè)本子5毛錢(qián)，你買(mǎi)10個(gè)需要花多少錢(qián)?！边@類(lèi)問(wèn)題的（常數K不能變，那肯定是本子價(jià)格，能變的是自變量X，也就是你要買(mǎi)的數量Y是最后掏的錢(qián)）。就是沒(méi)有任何基礎（在剛才這個(gè)問(wèn)題中也就是說(shuō)你在買(mǎi)本子前你需不需要付另外的錢(qián)，你總不會(huì )還沒(méi)買(mǎi)本子你就要付多余的錢(qián)然后再付錢(qián)買(mǎi)本子吧？所以這個(gè)多余的錢(qián)這個(gè)在你買(mǎi)完本子后付錢(qián)就沒(méi)有從那個(gè)基礎上再付你買(mǎi)本子的錢(qián)），從開(kāi)始就按照這個(gè)規律來(lái)走（也就是這一個(gè)本子5毛錢(qián)，10個(gè)本子應該5元錢(qián)這個(gè)規律），你就只控制X這一個(gè)來(lái)直接影響Y值，也就是函數值。
那如果是
就是你在買(mǎi)房子時(shí)你就要多付一個(gè)基礎錢(qián)，實(shí)際按中介機構交易方式來(lái)比喻更容易理解，“好比你要買(mǎi)房子，你去找中介機構了，你得先給人家50元錢(qián)，這50元錢(qián)你給人家之后不管你最后到底買(mǎi)不買(mǎi)房子，你都得掏，不可要回，也就相當于你不買(mǎi)房了你也得給人家這個(gè)錢(qián)！這時(shí)你這個(gè)x也就是房子數量等于0也就是不買(mǎi)，你也得掏那50元中介費！
這個(gè)關(guān)系式是
的函數。
函數關(guān)系式其實(shí)就是這么一回事，就是一個(gè)變量影響另一個(gè)變量這樣的關(guān)系，用未知數來(lái)代替現實(shí)生活中某些附加存在的數據和一些可控的數據最終造成的數據。有些數據可能變化規則詭異，但是都是有規律的（因為一切萬(wàn)物都是按照規律進(jìn)行的），再想想（分段函數），所以存在二次函數或者什么的。
函數解析式與函數式相類(lèi)似都是求出函數x與y的函數關(guān)系。
常用函數的解析式:
（反比例函數）
思路分析
求解方法
[題型一]配湊法
例1.已知
，求f(x)。
分析：函數的解析式
是自變量x確定y值的關(guān)系式，其實(shí)質(zhì)是對應法則f：x→y，因此解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清對“x”而言，“y”是怎樣的規律。
解：
令
，則
小結：此種解法為配湊法，通過(guò)觀(guān)察、分析，將右端“
”變?yōu)榻邮軐ο蟆?/span>
”的表達式，即變?yōu)楹?/span>
的表達式，這種解法對變形能力、觀(guān)察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知
，求f(x)。
分析：視
為一整體，應用數學(xué)的整體化思想，換元即得。
解：設
，
，則
故
。
小結：①已知f[g(x)]是關(guān)于x的函數，即
，求f(x)的解析式，通常令
，由此能解出
，將代入中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。
注意：換元后要確定新元t的取值范圍。
②換元法就是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)替換原來(lái)的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡(jiǎn)，以快速實(shí)現未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的。常見(jiàn)的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應用極為廣泛。
[題型三]待定系數法
例3.設二次函數f(x)滿(mǎn)足
，且
的兩實(shí)根平方和為10，圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由于f(x)是二次函數，其解析式的基本結構已定，可用待定系數法處理。
解：設
又圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)∴
……②
由方程的兩實(shí)根平方和為10，得
即
……③
由①②③解得
小結：我們只要明確所求函數解析式的類(lèi)型，便可設出其函數解析式，設法求出其系數即可得到結果。類(lèi)似的已知f(x)為一次函數時(shí)，可設
；f(x)為反比例函數時(shí)，可設
；f(x)為二次函數時(shí)，根據條件可設
[題型四]消元法
例4.已知函數滿(mǎn)足
，其中a、b、c都是非零常數，
，求函數的解析式。
分析：由于難以判斷f(x)是何種類(lèi)型的函數，故不可能先設出f(x)的表達式，但如果把條件中的x換成
，即
作為一個(gè)整體量，即可得到關(guān)于f(x)，
的方程組。。
解：在已知等式中，將x換成，得，把它與原條件式聯(lián)立，得
即：
答：方法一：
圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，因此只需
即可。
∴當
時(shí)，
；當
，
；當
時(shí)，a無(wú)解。
方法二：
只需 即可，
即
，以下同方法一。
參考資料
[1]
函數解析式 · 新浪[引用日期2017-11-07]
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
