介紹

華氏定理（1940）命 q是一個(gè)正整數，

華氏定理

即所謂高斯和:

并得到估計

高斯引進(jìn)并研究高斯和的目的在于給出初等數論中非常重要的二次互反律一個(gè)證明。以后，不少數學(xué)家企圖推廣高斯和及他的估計，但他們只能對特殊的多項式所對應的

華氏定理是臻于至善的，即誤差主階

華氏定理的直接應用是，可以處理比希爾伯特一華林定理更為廣泛的問(wèn)題：

命 N為一個(gè)正整數，

考慮不定方程

(1)

的求解問(wèn)題，特別取

(2)

1770年，華林提出猜想：當

華氏不等式

華氏不等式(1938)命 N 為一個(gè)正整數， f(x)為一個(gè) k次整系數多項式，則

華氏定理

華氏不等式的直接應用為不定方程（1），由圓法來(lái)處理方程（1），則首先需將方程（1）的解數表示成

(0,1),

(0,1)

基于華羅庚關(guān)于解析數論的基本方法，即關(guān)于指數和估計的華氏定理與華氏不等式，再加上依· 維諾格拉朵夫的韋爾（H. Weyl）和估計與關(guān)于素數變數的指數和估計，華羅庚系統地研究了不定方程及其他堆壘問(wèn)題的求解問(wèn)題，并限制變數

人物介紹

華羅庚，中國現代數學(xué)家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。華羅庚1924年金壇中學(xué)初中畢業(yè)之后，在上海中華職業(yè)學(xué)校學(xué)習不到一年，因家貧輟學(xué)，但他刻苦自修數學(xué)，1930年在《科學(xué)》上發(fā)表了關(guān)于代數方程式解法的文章，被邀到清華大學(xué)工作，開(kāi)始了數論的研究。

1934年成為中華教育文化基金會(huì )研究員。1936年作為訪(fǎng)問(wèn)學(xué)者去英國劍橋大學(xué)工作。1938年回國，受聘為西南聯(lián)合大學(xué)教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學(xué)研究所研究員、普林斯頓大學(xué)，1948年始，他為伊利諾伊大學(xué)教授。1950年回國。

歷任清華大學(xué)教授，中國科學(xué)院數學(xué)研究所、應用數學(xué)研究所所長(cháng)、名譽(yù)所長(cháng)，中國數學(xué)學(xué)會(huì )理事長(cháng)、名譽(yù)理事長(cháng)，全國數學(xué)競賽委員會(huì )主任，美國國家科學(xué)院國外院士，第三世界科學(xué)院院士，聯(lián)邦德國巴伐利亞科學(xué)院院士，中國科學(xué)院物理學(xué)數學(xué)化學(xué)部副主任、副院長(cháng)、主席團成員，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數學(xué)系主任、副校長(cháng)，中國科協(xié)副主席，國務(wù)院學(xué)位委員會(huì )委員等職。

曾任一至六屆全國人大常務(wù)委員，六屆全國政協(xié)副主席。曾被授予法國南錫大學(xué)、香港中文大學(xué)和美國伊利諾斯大學(xué)榮譽(yù)博士學(xué)位。

主要從事解析數論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積分等領(lǐng)域的研究與教授工作并取得突出成就。

40年代，解決了高斯完整三角和的估計這一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著(zhù)廣泛的應用）；對G.H.哈代與J.E.李特爾伍德關(guān)于華林問(wèn)題及E.賴(lài)特關(guān)于塔里問(wèn)題的結果作了重大的改進(jìn)，至今仍是最佳紀錄。

在代數方面，證明了歷史長(cháng)久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規子體一定包含在它的中心之中這個(gè)結果的一個(gè)簡(jiǎn)單而直接的證明，被稱(chēng)為嘉當-布饒爾-華定理。

其專(zhuān)著(zhù)《堆壘素數論》系統地總結、發(fā)展與改進(jìn)了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發(fā)表40余年來(lái)其主要結果仍居世界領(lǐng)先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經(jīng)典數論著(zhù)作之一。

其專(zhuān)著(zhù)《多個(gè)復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式，獲中國自然科學(xué)獎一等獎。

倡導應用數學(xué)與計算機的研制，曾出版《統籌方法平話(huà)》、《優(yōu)選學(xué)》等多部著(zhù)作并親自在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，被稱(chēng)為“華-王方法”。在發(fā)展數學(xué)教育和科學(xué)普及方面做出了重要貢獻。發(fā)表研究論文200多篇，并有專(zhuān)著(zhù)和科普性著(zhù)。

1985年6月12日，華羅庚應邀到日本東京大學(xué)作學(xué)術(shù)報告。他先中文，后改用英語(yǔ)演講。日本學(xué)者被他精彩的演說(shuō)深深吸引，原定45分鐘的報告在經(jīng)久不息的掌聲中被延長(cháng)到一個(gè)多小時(shí)。當他滿(mǎn)頭大汗結束講話(huà)時(shí)，突然心臟病發(fā)作倒在講臺上。他用行動(dòng)實(shí)踐了自己的諾言：“最大的希望就是工作到生命的最后一刻?！?/p>

華氏不等式

1936年華羅庚到劍橋大學(xué)進(jìn)修了兩年，他師從哈代，積極參加劍橋大學(xué)數論小組的學(xué)術(shù)討論班活動(dòng)，迅速進(jìn)入到該領(lǐng)域前沿。華羅庚潛心研究數論的重要問(wèn)題，解決了華林（Waring）問(wèn)題，他利（Tarry）問(wèn)題等數學(xué)難題，其杰出才華在劍橋沃土上顯露出來(lái)，在國際數學(xué)界引人注目。

華羅庚抓緊這兩年的時(shí)間，學(xué)習非?？炭嗯?，寫(xiě)了十八篇關(guān)于“華林問(wèn)題”、“他利問(wèn)題”，“奇數的哥德巴赫問(wèn)題”的論文，先后發(fā)表在英、蘇、印度、法、德等國的雜志上。他的工作成績(jì)得到了大家的認可與贊許。其中他的最有名的一篇論文“論高斯的完整三角和估計問(wèn)題”，代表了他的工作在這個(gè)領(lǐng)域的有著(zhù)長(cháng)期與重要的影響。

蘇聯(lián)數學(xué)家維諾格拉朵夫（1891-1983），從1934年至1983年一直擔任蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛夫數學(xué)研究所的所長(cháng)。他對韋爾和的估計方法及以素數為變數的指數和估計方法自30年代以來(lái)，對數論發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。他在堆壘數論方面得到不少深刻的結果，尤其是他對奇數的哥德巴赫猜想的基本解決及關(guān)于華林問(wèn)題的結論是最為有名。

維諾格拉朵夫的主要成就是發(fā)表在30年代，這也是華羅庚進(jìn)入數論研究的高峰時(shí)期。他認真學(xué)習了維諾格拉朵夫的方法，雖然華羅庚是自學(xué)維諾格拉朵夫方法的。但他對這個(gè)方法的了解和貢獻卻不在旁人之下。維諾格拉朵夫在他的書(shū)《數論中的三角和方法》的序言中，提到這個(gè)方法是我與柯坡?tīng)柼?、朱達柯夫、華羅庚及其他人一起合作得出的。

華羅庚最重要的數論工作當然還是他自己獨創(chuàng )性的工作。