定理定義

任何一個(gè)充分大的偶數都可以表示成一個(gè)素數和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素數的乘積之和

發(fā)展簡(jiǎn)史

1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數之和。因現今數學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素數”這個(gè)約定，原初猜想的現代陳述為：任一大于5的整數都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數都可寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數之和。常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數不超過(guò)a個(gè)的數與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個(gè)素數的和，或是一個(gè)素數和一個(gè)半素數的和"。

陳景潤

陳景潤（1933年5月22日～1996年3月19日）中國著(zhù)名數學(xué)家，福建福州人，廈門(mén)大學(xué)數學(xué)系畢業(yè)。

陳景潤像

1999年，中國發(fā)表紀念陳景潤的郵票。紫金山天文臺將一顆行星命名為“陳景潤星”，以此紀念。另有相關(guān)影視作品以陳景潤為名。 1973年，《中國科學(xué)》雜志全文發(fā)表了陳景潤的證明，他的“1+2”被國內外公認為哥德巴赫猜想研究的重要里程碑，迄今無(wú)人能及。有人說(shuō)，他挑戰了解析數論領(lǐng)域250年智力極限的總和。五年后，全國科學(xué)大會(huì )的召開(kāi)，迎來(lái)了“科學(xué)的春天”，一個(gè)尊重知識的新時(shí)代到來(lái)了。陳景潤成為會(huì )上最大的亮點(diǎn)，也成為后來(lái)青年的偶像，激勵了整整一代人。

哥德巴赫猜想

常見(jiàn)的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數都可寫(xiě)成兩個(gè)素數之和，亦稱(chēng)為“強哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數的哥德巴赫猜想”。

從關(guān)于偶數的哥德巴赫猜想，可推出：

任一大于7的奇數都可寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數之和

的猜想。后者稱(chēng)為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數的哥德巴赫猜想”。

若關(guān)于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數的哥德巴赫猜想也會(huì )是對的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時(shí)前蘇聯(lián)數學(xué)家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇質(zhì)數都能寫(xiě)成三個(gè)質(zhì)數的和，也稱(chēng)為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”，數學(xué)家認為弱哥德巴赫猜想已基本解決。

研究偶數的哥德巴赫猜想的四個(gè)途徑。這四個(gè)途徑分別是：殆素數，例外集合，小變量的三素數定理，以及幾乎哥德巴赫問(wèn)題。

途徑一：殆素數

殆素數就是素因子個(gè)數不多的正整數?，F設N是偶數，雖然現不能證明N是兩個(gè)素數之和，但是可以證明它能夠寫(xiě)成兩個(gè)殆素數的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個(gè)數都不太多，譬如說(shuō)素因子個(gè)數不超過(guò)10。用“a+b”來(lái)表示如下命題：每個(gè)大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個(gè)數分別不超過(guò)a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫(xiě)成"1+1"。在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩法得到的。

“a + b”問(wèn)題的推進(jìn)

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數。

1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍后證明了“3 + 3”和“2 + 3”。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1 + 5”，中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了“1 + 2 ”。

途徑二：例外集合

在數軸上取定大整數x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數，即例外偶數。x之前所有例外偶數的個(gè)數記為E(x)。我們希望，無(wú)論x多大，x之前只有一個(gè)例外偶數，那就是2，即只有2使得猜想是錯的。這樣一來(lái)，哥德巴赫猜想就等價(jià)于E(x)永遠等于1。當然，直到2013年還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個(gè)數大概是x/2；如果當x趨于無(wú)窮大時(shí)，E(x)與x的比值趨于零，那就說(shuō)明這些例外偶數密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素數定理發(fā)表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時(shí)出現了四個(gè)證明，其中包括華羅庚先生的著(zhù)名定理。

業(yè)余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱(chēng)“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實(shí)際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。這個(gè)結論華老早在60年前就真正證明出來(lái)了。

途徑三：小變量的三素數定理

如果偶數的哥德巴赫猜想正確，那么奇數的猜想也正確。我們可以把這個(gè)問(wèn)題反過(guò)來(lái)思考。已知奇數N可以表成三個(gè)素數之和，假如又能證明這三個(gè)素數中有一個(gè)非常小，譬如說(shuō)第一個(gè)素數可以總取3，那么我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個(gè)思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時(shí)，研究有一個(gè)小素變數的三素數定理。這個(gè)小素變數不超過(guò)N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0，即這個(gè)小素變數有界，從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。后來(lái)的很長(cháng)一段時(shí)間內，這方面的工作一直沒(méi)有進(jìn)展，直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進(jìn)到7/120。這個(gè)數已經(jīng)比較小了，但是仍然大于0。

途徑四：幾乎哥德巴赫問(wèn)題

1953年，林尼克發(fā)表了一篇長(cháng)達70頁(yè)的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問(wèn)題，證明了，存在一個(gè)固定的非負整數k，使得任何大偶數都能寫(xiě)成兩個(gè)素數與k個(gè)2的方冪之和。這個(gè)定理，看起來(lái)好像丑化了哥德巴赫猜想，實(shí)際上它是非常深刻的。我們注意，能寫(xiě)成k個(gè)2的方冪之和的整數構成一個(gè)非常稀疏的集合；事實(shí)上，對任意取定的x，x前面這種整數的個(gè)數不會(huì )超過(guò)log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數集合中找到一個(gè)非常稀疏的子集，每次從這個(gè)稀疏子集里面拿一個(gè)元素貼到這兩個(gè)素數的表達式中去，這個(gè)表達式就成立。這里的k用來(lái)衡量幾乎哥德巴赫問(wèn)題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數值較小的k表示更好地逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問(wèn)題中2的方冪就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒(méi)有具體定出k的可容許數值，此后四十多年間，人們還是不知道一個(gè)多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個(gè)k應該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個(gè)可容許值后來(lái)被不斷改進(jìn)。其中有兩個(gè)結果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。最好的結果k=13是英國數學(xué)家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學(xué)家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個(gè)很大的突破。