殆素數的定義

所謂"殆素數"就是素數因子(包括相同的與不同的)的個(gè)數不超過(guò)某一固定常數的正整數。例如，15=3×5有2個(gè)素因子，19有1個(gè)素因子，27=3×3×3有3個(gè)素因子，45=3×3×5有3個(gè)素因子．可以說(shuō)它們都是素因子數不超過(guò)3的殆素數。

殆素數就是素因子個(gè)數不多的正整數?，F設N是偶數，雖然現在不能證明N是兩個(gè)素數之和，但是可以證明它能夠寫(xiě)成兩個(gè)殆素數的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個(gè)數都不太多，譬如說(shuō)素因子個(gè)數不超過(guò)10?，F在用“a+b”來(lái)表示如下命題：每個(gè)大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個(gè)數分別不超過(guò)a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫(xiě)成"1+1"。在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩法得到的。

“a + b”問(wèn)題的推進(jìn)

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍后證明了“3 + 3”和“2 + 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1 + 5”，中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了“1 + 2 ”。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫

（1）每個(gè)不小于6的偶數都是兩個(gè)奇素數之和．例如，6=3+3，8=5+3，100=3+97，……．

（1）每個(gè)不小于9的奇數都是三個(gè)奇素數之和，例如，9=3+3+3，15=3+7+5，……99=3+7+89，……．

這就是著(zhù)名的哥德巴赫猜想．從1742年到現在200多年來(lái)，這個(gè)問(wèn)題吸引了無(wú)數的數學(xué)家為之努力，取得不少成果，雖然至今沒(méi)有最后證明哥德巴赫猜想，但在證明過(guò)程中所產(chǎn)生的數學(xué)方法，推動(dòng)了數學(xué)的發(fā)展．

為了解決這個(gè)問(wèn)題，就要檢驗每個(gè)自然數都成立．由于自然數有無(wú)限多個(gè)，所以一一驗證是辦不到的，因此，一位著(zhù)名數學(xué)家說(shuō)：哥德巴赫猜想的困難程度，可以和任何沒(méi)有解決的數學(xué)問(wèn)題相匹敵．也有人把哥德巴赫猜想比作數學(xué)王冠上的明珠．

為了摘取這顆明珠，數學(xué)家們采用了各種方法，其一是用篩法轉化成殆素數問(wèn)題（所謂殆素數就是素因數的個(gè)數不超過(guò)某一固定常數的奇整數），即證明每一個(gè)充分大的偶數都是素因數個(gè)數分別不超過(guò)a與b的兩個(gè)殆素數之和，記為（a+b）．哥德巴赫猜想本質(zhì)上就是最終要證明（1+1）成立．

數學(xué)家們經(jīng)過(guò)艱苦卓絕的工作，先后已證明了（9+9），（7+7），（6+6），（5+5），……（1+5），（1+4），（1+3），到1966年我國數學(xué)家陳景潤證明了（1+2），即證明了每一個(gè)充分大的偶數都是一個(gè)素數與一個(gè)素因數的個(gè)數不超過(guò)2的殆素數之和．離（1+1）只有一步之遙了，但這又是十分艱難的一步．

1966年至今已50年了，然而（1+1）仍是一個(gè)未解決的問(wèn)題．

但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。

現在通常把這兩個(gè)命題統稱(chēng)為哥德巴赫猜想。