概述

本文用詞優(yōu)美，甚至有幾處引用了威廉·莎士比亞的詩(shī)文，這與普通的數學(xué)家平時(shí)所作的論文在語(yǔ)言方面有著(zhù)大大的不同。不僅如此，從字里行間還可以體會(huì )到哈代的一種淡淡的憂(yōu)傷。

《一個(gè)數學(xué)家的辯白》盡管有著(zhù)較強的文學(xué)性質(zhì)，行文卻較為雜亂，讀者經(jīng)常會(huì )遇到中途轉移話(huà)題的情況。但總體上說(shuō)，本文主要圍繞這三個(gè)主題展開(kāi)：數學(xué)的美，數學(xué)的持久性和數學(xué)的重要性。

在本書(shū)的題目中，哈代所使用的“辯白”一詞表達的意思是一種正式的辯護或抗辯（就如同柏拉圖的《蘇格拉底的申辯》），而不是一種對寬恕的懇求，或對獲得清白的希冀。

哈代覺(jué)得有必要為他一生在數學(xué)上的事業(yè)作辯解的原因有兩個(gè)：

第一，62歲的哈代覺(jué)得他已經(jīng)接近衰老（他在1939年曾幸免于一次突發(fā)的心臟?。?，同時(shí)，他的數學(xué)創(chuàng )造力也在衰退?；〞r(shí)間寫(xiě)這本辯白，意味著(zhù)哈代認為自己作為一個(gè)開(kāi)創(chuàng )性的數學(xué)家的時(shí)期已經(jīng)結束。在C·P·斯諾為該書(shū)1967年版所作的序中，他這樣描述哈代的這本辯白，“（它）是對曾經(jīng)所擁有的而現在已經(jīng)一去不返的創(chuàng )造力的深情挽歌”。用哈代本人的話(huà)來(lái)說(shuō)，“解釋、評論、鑒賞，是次等工作。作為一個(gè)專(zhuān)業(yè)的數學(xué)家卻來(lái)寫(xiě)關(guān)于數學(xué)的東西是悲哀的。數學(xué)家的使命在于做些實(shí)事，證明新的定理，使數學(xué)有所發(fā)展，而不是談?wù)撟约夯蚱渌麛祵W(xué)家做了些什么。

哈代認為自己已經(jīng)沒(méi)有能力去積極發(fā)展新的數學(xué)思想了，他這樣寫(xiě)到，“我之所以寫(xiě)關(guān)于數學(xué)的書(shū)是因為，如同其他年過(guò)花甲的數學(xué)家一樣，我已經(jīng)沒(méi)有新思維，精力，或者說(shuō)耐心，去繼續有效地做自己的工作?！庇谑?，他覺(jué)得自己唯一還能為數學(xué)做點(diǎn)貢獻的便是寫(xiě)一本探討數學(xué)的書(shū)，借以表達自己對這門(mén)學(xué)科的個(gè)人看法。

第二，在第二次世界大戰之初，哈代作為一個(gè)積極的反戰主義者，想為他的信仰——追求、探索數學(xué)的目的應當是出于數學(xué)的本身價(jià)值，而不是出于應用價(jià)值——做出辯護。探索數學(xué)是為了數學(xué)的單純，為了它內部的完善，為了明晰尚不清楚的概念。他想寫(xiě)本書(shū)，向后輩的數學(xué)家闡述自己對數學(xué)的哲學(xué)認識；從數學(xué)自身的重要性出發(fā)為數學(xué)做辯護，詳細說(shuō)明純數學(xué)本身的價(jià)值——并不要依賴(lài)于應用數學(xué)的成果去證明數學(xué)的重要性；同時(shí)能夠激勵正在成長(cháng)中的一代純數學(xué)家。鑒于哈代是一個(gè)無(wú)神論者，他做出他的辯護是為了勉勵他的后繼者而不是為了獻給上帝。

本書(shū)中一個(gè)重要的主題是數學(xué)之美。

對于哈代來(lái)說(shuō)，最美的數學(xué)應當沒(méi)有一點(diǎn)在現實(shí)世界的應用，也即是他所說(shuō)的純數學(xué)，尤其是他所鐘情的數論。他在為追求純數學(xué)辯解的同時(shí)，透露出了他關(guān)于純數學(xué)的“無(wú)用性”（uselessness）的觀(guān)點(diǎn)。所謂數學(xué)的無(wú)用性即是說(shuō)純數學(xué)不會(huì )被濫用而導致傷害。而另一方面，哈代貶低應用數學(xué)，甚至將其描述成“丑陋”、“瑣碎”和“乏味”的。

值得一提的是，并不是應用數學(xué)中概念與定理的實(shí)用性使得哈代認為應用數學(xué)比純數學(xué)更低一等，而是因為通常來(lái)說(shuō)，這樣的數學(xué)會(huì )有更為普遍的應用。哈代說(shuō)，是內容的簡(jiǎn)單與平凡迫使他如此描述應用數學(xué)的。根據哈代的定義，這些描述是否被賦予數學(xué)中的某一分支是由構成這一分支基礎的潛在概念的創(chuàng )造性、深度以及美所決定的。

卡爾·弗雷德里?！じ咚乖f(shuō)過(guò)，“數學(xué)是科學(xué)中的皇后，而數論是數學(xué)中的皇后?！惫淌趯Ω咚惯@句話(huà)的評論則更加強調了這一點(diǎn)。有些人認為是由于數論極端的無(wú)應用性才使得高斯做出上述的陳述；然而，哈代指出這并不是主要緣由。就算數論的應用被找到了，也不會(huì )有人會(huì )因此罷黜這一數學(xué)的皇后。哈代認為高斯所想表達的意思是：構成數論的潛在的概念比其它數學(xué)分支的更加深刻更加優(yōu)雅。

在本書(shū)中，哈代將數學(xué)與繪畫(huà)和詩(shī)歌作類(lèi)比。他說(shuō)道，數學(xué)家與畫(huà)家和詩(shī)人一樣，是模式的創(chuàng )造者。這一觀(guān)點(diǎn)與很多人一致，如科學(xué)作家艾薩克·阿西莫夫在第三部自傳《人生舞臺》中也提到這一點(diǎn)。

在第八節中，哈代談到數學(xué)的持久性。他提到，在所有的學(xué)科中，數學(xué)是最能使人好奇的，因為在其他學(xué)科中，真理都沒(méi)有占據如此重要的位置。后面他總結道，正如歷史所證實(shí)的，數學(xué)成就是最為持久的。接著(zhù)他舉例，巴比倫和亞述文化都衰亡了，漢謨拉比，薩爾貢和尼布甲尼撒都成為了空洞的名字，然而巴比倫的數學(xué)仍然是精彩的——巴比倫所創(chuàng )造的60進(jìn)制仍然在天文學(xué)中使用。

在第十一節中，哈代通過(guò)數學(xué)與國際象棋的比較，說(shuō)明了數學(xué)的重要性（importance）。哈代談到，一個(gè)國際象棋問(wèn)題的確是數學(xué)問(wèn)題，但卻是“瑣碎的”（trivial）數學(xué)。不管每一步是如何的精巧，都不重要。哈代甚至因為這一言論而受到批評。在此處，哈代所指的“重要”并不是說(shuō)某一數學(xué)所帶來(lái)的直接實(shí)際作用，而是數學(xué)思想所聯(lián)系的更多更有意義的內容。一個(gè)重要的數學(xué)發(fā)現，會(huì )帶來(lái)一些十分有意義的想法，聯(lián)系起很多個(gè)數學(xué)分支中各不相干的內容，還可能會(huì )給數學(xué)甚至其他的科學(xué)帶來(lái)重大的進(jìn)步。而象棋，即使是最重要的棋局，也從來(lái)都沒(méi)有帶來(lái)任何的科學(xué)進(jìn)展。

他同時(shí)舉了羅爾定理作例子，這個(gè)定理雖然在在微積分中具有一定的重要性，但是卻不能與萊昂哈德·歐拉與埃瓦里斯特·伽羅瓦等純數學(xué)家工作的優(yōu)雅和卓越相比。

正如他在他的書(shū)中寫(xiě)道的：“就算在數學(xué)界，歷史也常常玩奇怪的把戲：羅爾在初等微積分中如此地經(jīng)常出現，就好像他是和牛頓齊名的一個(gè)數學(xué)家?！?/p>“年輕人的游戲”

另一個(gè)重要的主題是“數學(xué)是一個(gè)‘年輕人的游戲’”，即是說(shuō)任何有著(zhù)數學(xué)天賦的人應當趁他們還年輕的時(shí)候發(fā)展并利用這些天賦，不至于等到中年，數學(xué)的創(chuàng )造力開(kāi)始衰退的時(shí)候。

在本書(shū)一開(kāi)始，哈代就寫(xiě)到，“當一個(gè)職業(yè)數學(xué)家發(fā)現他自己在寫(xiě)有關(guān)數學(xué)的東西的時(shí)候，他會(huì )很悲傷的?！保↖t is a melancholy experience for a professional mathematician to find himself writing about mathematics.）哈代繼續解釋道，數學(xué)家的作用應該是去做一些事情，證明一些新的定理，為數學(xué)做些貢獻，而不是去談?wù)撍蛘咂渌臄祵W(xué)家已經(jīng)做過(guò)的事情。在年輕的時(shí)候，因為擁有豐富的靈感，數學(xué)家都忙于進(jìn)行數學(xué)研究。而當靈感逐漸衰竭之時(shí)，數學(xué)家才會(huì )有時(shí)間寫(xiě)一些關(guān)于數學(xué)的文章而非論文。

哈代還舉到艾薩克·牛頓的例子：牛頓在24歲時(shí)，即產(chǎn)生了流數與萬(wàn)有引力的想法。而當他50歲時(shí)，對數學(xué)有了更為深刻的理解，可能是因為一些能力已經(jīng)消退，卻放棄了數學(xué)。

這一觀(guān)點(diǎn)反映出了哈代對他數學(xué)能力衰退與日俱增的沮喪。對于哈代，真正的數學(xué)本質(zhì)上應是一種創(chuàng )造的能力，而并非像哈代本人寫(xiě)這本書(shū)一樣，對數學(xué)的闡述或是解釋。

正專(zhuān)心致志的寫(xiě)《辯白》之時(shí)，哈代承認他作為一個(gè)有創(chuàng )造性的數學(xué)家的時(shí)期已經(jīng)結束了。正如在本書(shū)1967年版的的前言中，斯諾將這本“辯白”稱(chēng)為“對以前屬于他的創(chuàng )造力再也不會(huì )回來(lái)所作的深切的痛惜”。

批評

哈代的思想曾被一戰和二戰間劍橋大學(xué)和牛津大學(xué)的學(xué)術(shù)文化深深地影響。他的猜測——只有每個(gè)領(lǐng)域的極好的原創(chuàng )性工作才會(huì )有深遠持久的價(jià)值——在現在聽(tīng)起來(lái)是帶有精英主義思想的。

哈代在劍橋大學(xué)時(shí)，曾經(jīng)加入一個(gè)精英協(xié)會(huì )——劍橋使徒會(huì )，這也在一定程度上解釋了哈代精英主義思想的來(lái)源。

在本書(shū)末尾的注解中，哈代教授提起他和洛馬斯先生經(jīng)過(guò)特拉法加廣場(chǎng)的納爾遜紀念碑的經(jīng)歷。哈代自己認為，如果自己能夠在倫敦有一個(gè)紀念碑，會(huì )希望這個(gè)紀念碑如同納爾遜紀念碑一樣高聳如云，以至于在低端根本看不見(jiàn)；而他猜測，斯諾博士則會(huì )希望紀念碑的細節都能夠被辨認。這一段話(huà)從某種角度上說(shuō)，正是哈代精英主義的寫(xiě)照。

現在回顧起來(lái)，哈代的一些例子已經(jīng)過(guò)時(shí)。譬如說(shuō)，他寫(xiě)道，“到目前為止，還尚未有人能夠發(fā)現數論和相對論用于任何與戰爭有關(guān)的目的，而且在今后許多年，也不太可能會(huì )有人能夠做到這一點(diǎn)?！?/p>

而在這之后，相對論用以解釋核武器為何威力如此巨大，與此同時(shí)，數論在公鑰加密中起到顯著(zhù)的作用。但是不管怎樣，哈代的更加明顯的關(guān)于美麗的數學(xué)發(fā)現（關(guān)于質(zhì)數無(wú)窮多以及2的平方根的無(wú)理性的證明）是無(wú)用的的例子仍然是成立的。