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概率論是數學(xué)的一個(gè)分支，主要研究隨機現象的數量規律。隨機現象是指試驗或觀(guān)察前不能確定出現哪種結果的現象，具有偶然性。概率論旨在從數量上描述和解釋這些隨機現象的規律。 概率論的研究范圍很廣，包括概率模型、隨機過(guò)程、隨機變量和它們的分布、隨機事件的概率、獨立性和馬爾可夫性等。這些概念和工具可以用來(lái)描述和解釋各種現實(shí)世界中的隨機現象，如自然現象、工程系統、金融市場(chǎng)等。 概率論在數學(xué)和其他學(xué)科中都有廣泛應用。在數學(xué)領(lǐng)域，概率論是數理統計學(xué)、金融數學(xué)、風(fēng)險分析等領(lǐng)域的核心基礎。在其他學(xué)科中，概率論被廣泛應用于物理學(xué)、生物學(xué)、社會(huì )科學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域，例如天氣預報、遺傳學(xué)研究、市場(chǎng)預測等。 總之，概率論是一種重要的數學(xué)工具，用于研究和解釋隨機現象的數量規律和行為。概率論
研究隨機現象規律的數學(xué)分支
概率論
概率論是研究隨機現象數量規律的數學(xué)分支。隨機現象是相對于決定性現象而言的。在一定條件下必然發(fā)生某一結果的現象稱(chēng)為決定性現象。例如在標準大氣壓下，純水加熱到100℃時(shí)水必然會(huì )沸騰等。隨機現象則是指在基本條件不變的情況下，每一次試驗或觀(guān)察前，不能肯定會(huì )出現哪種結果，呈現出偶然性。例如，擲一硬幣，可能出現正面或反面。隨機現象的實(shí)現和對它的觀(guān)察稱(chēng)為隨機試驗。隨機試驗的每一可能結果稱(chēng)為一個(gè)基本事件，一個(gè)或一組基本事件統稱(chēng)隨機事件，或簡(jiǎn)稱(chēng)事件。典型的隨機試驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤(pán)游戲等。
基本信息
中文名
概率論
外文名
Probability Theory
常用實(shí)驗
擲骰子、擲硬幣等
定義
事情發(fā)生的可能性
運用領(lǐng)域
提出者
吉羅拉莫·卡爾達諾
發(fā)展過(guò)程
起源
概率論是一門(mén)研究事情發(fā)生的可能性的學(xué)問(wèn)，但是最初概率論的起源與賭博問(wèn)題有關(guān)。16世紀，意大利的學(xué)者吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）開(kāi)始研究擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
概率與統計的一些概念和簡(jiǎn)單的方法，早期主要用于賭博和人口統計模型。隨著(zhù)人類(lèi)的社會(huì )實(shí)踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規律性，并用數學(xué)方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產(chǎn)生了概率論，并使之逐步發(fā)展成一門(mén)嚴謹的學(xué)科。概率與統計的方法日益滲透到各個(gè)領(lǐng)域，并廣泛應用于自然科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、醫學(xué)、金融保險甚至人文科學(xué)中。
發(fā)展
隨著(zhù)18、19世紀科學(xué)的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會(huì )現象與機會(huì )游戲之間有某種相似性，從而由機會(huì )游戲起源的概率論被應用到這些領(lǐng)域中；同時(shí)這也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展。使概率論成為數學(xué)的一個(gè)分支的奠基人是瑞士數學(xué)家伯努利，他建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即伯努利大數定律，闡明了事件的頻率穩定于它的概率。隨后棣莫弗和拉普拉斯又導出了第 二個(gè)基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統總結前人工作的基礎上寫(xiě)出了《分析的概率理論》，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。19世紀末，俄國數學(xué)家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數定律及中心極限定理的一般形式，科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。20世紀初受物理學(xué)的刺激，人們開(kāi)始研究隨機過(guò)程。這方面柯?tīng)柲缏宸?、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費勒等人作了杰出的貢獻。
定義
傳統概率
傳統概率又叫拉普拉斯概率，因為其定義是由法國數學(xué)家拉普拉斯提出的。如果一個(gè)隨機試驗所包含的單位事件是有限的，且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這個(gè)隨機試驗叫做拉普拉斯試驗。在拉普拉斯試驗中，事件A在事件空間S中的概率P(A)為：
例如，在一次同時(shí)擲一個(gè)硬幣和一個(gè)骰子的隨機試驗中，假設事件A為獲得國徽面且點(diǎn)數大于4，那么事件A的概率應該有如下計算方法：
公理化定義
如何定義概率，如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，是概率理論發(fā)展的困難所在，對這一問(wèn)題的探索一直持續了3個(gè)世紀。20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下，蘇聯(lián)數學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?933年在他的《概率論基礎》一書(shū)中第一次給出了概率的測度論的定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代概率論的基礎，使概率論成為嚴謹的數學(xué)分支，對概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用。
以下是公理化定義：
（1）非負性：
（2）規范性：
（3）可列（完全）可加性：對于兩兩互不相容的可列無(wú)窮多個(gè)事件
統計定義
設隨機事件A在n次重復試驗中發(fā)生的次數為nA，若當試驗次數n很大時(shí)，頻率
事件
事件包括單位事件、事件空間、隨機事件等。
在一次隨機試驗中可能發(fā)生的唯一的，且相互之間獨立的結果被稱(chēng)為單位事件，用e表示。在隨機試驗中可能發(fā)生的所有單位事件的集合稱(chēng)為事件空間，用S來(lái)表示。例如在一次擲骰子的隨機試驗中，如果用獲得的點(diǎn)數來(lái)表示單位事件，那么一共可能出現6個(gè)單位事件，則事件空間可以表示為
隨機事件是事件空間S的子集，它由事件空間S中的單位元素構成，用大寫(xiě)字母A，B，C...表示。例如在擲兩個(gè)骰子的隨機試驗中，設隨機事件
事件的計算
因為事件在一定程度上是以集合的含義定義的，因此可以把集合計算方法直接應用于事件的計算，也就是說(shuō)，在計算過(guò)程中，可以把事件當作集合來(lái)對待。
A的補集 不屬于A(yíng)的事件發(fā)生 | 聯(lián)集  或者A或者B或者A，B同時(shí)發(fā)生 | 交集  事件A，B同時(shí)發(fā)生 |
差集A\B 不屬于B的A事件發(fā)生） | 空集  | 子集  如A發(fā)生，則B也一定發(fā)生 |
在輪盤(pán)游戲中假設A代表事件“球落在紅色區域”，B代表事件"球落在黑色區域"，C代表事件"球落在綠色區域"，因為事件A和B沒(méi)有共同的單位事件，因此可表示為概率
注意到事件A和B并不是互補的關(guān)系，因為在整個(gè)事件空間S中還有一個(gè)單位事件C，其即不是紅色也不是黑色，而是綠色，因此A，B的補集應該分別表示如下：
一事件A在一事件B確定發(fā)生后會(huì )發(fā)生的概率稱(chēng)為B給之A的條件概率；其數值為
相關(guān)事例
人們普遍認為，對將要發(fā)生的機率的一種不好的感覺(jué)，或者說(shuō)不安全感（俗稱(chēng)“點(diǎn)背”）是實(shí)際存在的。下面列出的幾個(gè)例子可以形象闡述人們有時(shí)對機率存在的錯誤的認識：
（1）六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13983816種可能性，普遍認為，如果每周都買(mǎi)一個(gè)不相同的號，最晚可以在
（2）生日悖論：在一個(gè)足球場(chǎng)上有23個(gè)人（2×11個(gè)運動(dòng)員和1個(gè)裁判員），不可思議的是，在這23人當中至少有兩個(gè)人的生日是在同一天的機率要大于50%。
（3）輪盤(pán)游戲：在游戲中玩家普遍認為，在連續出現多次紅色后，出現黑色的機率會(huì )越來(lái)越大。這種判斷也是錯誤的，即出現黑色的機率每次是相等的，因為球本身并沒(méi)有“記憶”，它不會(huì )意識到以前都發(fā)生了什么，其機率始終是
（4）三門(mén)問(wèn)題：在電視臺舉辦的猜隱藏在門(mén)后面的汽車(chē)的游戲節目中，在參賽者的對面有三扇關(guān)閉的門(mén)，其中只有一扇門(mén)的后面有一輛汽車(chē)，其它兩扇門(mén)后是山羊。游戲規則是，參賽者先選擇一扇他認為其后面有汽車(chē)的門(mén)，但是這扇門(mén)仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著(zhù)主持人打開(kāi)沒(méi)有被參賽者選擇的另外兩扇門(mén)中后面有山羊的一扇門(mén)，這時(shí)主持人問(wèn)參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門(mén)，以使得贏(yíng)得汽車(chē)的機率更大一些？
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(
計算
需要提及的是下面將要介紹的9個(gè)計算概率的定理與上面已經(jīng)提及的事件的計算沒(méi)有關(guān)系，所有關(guān)于概率的定理均由概率的3個(gè)公理得來(lái)，同時(shí)適用于包括拉普拉斯概率和統計概率在內的所有概率理論。
定理1
又稱(chēng)互補法則。
第一次旋轉紅色不出現的概率是
定理2
不可能事件的概率為零。
證明： Q和S是互補事件，按照公理2有
定理3
例如，在一次擲骰子中，得到5點(diǎn)或者6點(diǎn)的概率是：
定理4
如果事件A，B是差集關(guān)系，則有
定理5
任意事件加法法則：
對于事件空間S中的任意兩個(gè)事件A和B，有如下定理：概率
定理6
乘法法則：
事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率是：
定理7
無(wú)關(guān)事件乘法法則：
兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)的事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率是：注意到這個(gè)定理實(shí)際上是定理6(乘法法則)的特殊情況，如果事件A，B沒(méi)有聯(lián)系，則有
忽視這一定理是造成許多玩家失敗的根源，普遍認為，經(jīng)過(guò)連續出現若干次紅色后，黑色出現的概率會(huì )越來(lái)越大，事實(shí)上兩種顏色每次出現的概率是相等的，之前出現的紅色與之后出現的黑色之間沒(méi)有任何聯(lián)系，因為球本身并沒(méi)有"記憶"，它并不"知道"以前都發(fā)生了什么。
所以，連續10次至少有1次出現紅色的概率為
統計概率
統計概率是建立在頻率理論基礎上的，分別由英國邏輯學(xué)家約翰(John Venn,1834-1923)和奧地利數學(xué)家理查德(Richard VonMises,1883-1953)提出，他們認為，獲得一個(gè)事件的概率值的唯一方法是通過(guò)對該事件進(jìn)行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互獨立的n次隨機試驗，針對每次試驗均記錄下絕對頻率值和相對頻率值hn(A)，隨著(zhù)試驗次數n的增加，會(huì )出現如下事實(shí)，即相對頻率值會(huì )趨于穩定，它在一個(gè)特定的值上下浮動(dòng)，也即是說(shuō)存在著(zhù)一個(gè)極限值P(A)，相對頻率值趨向于這個(gè)極限值。
這個(gè)極限值被稱(chēng)為統計概率，表示為：
例如，若想知道在一次擲骰子的隨機試驗中獲得6點(diǎn)的概率值可以對其進(jìn)行3000次前后獨立的扔擲試驗，在每一次試驗后記錄下出現6點(diǎn)的次數，然后通過(guò)計算相對頻率值可以得到趨向于某一個(gè)數的統計概率值。
扔擲數 | 獲得6點(diǎn)的絕對頻率 | 獲得6點(diǎn)的相對頻率 |
1 | 1 | 1.00000 |
2 | 1 | 0.50000 |
3 | 1 | 0.33333 |
4 | 1 | 0.25000 |
5 | 2 | 0.40000 |
10 | 2 | 0.20000 |
20 | 5 | 0.25000 |
100 | 12 | 0.12000 |
200 | 39 | 0.19500 |
300 | 46 | 0.15333 |
400 | 72 | 0.18000 |
500 | 76 | 0.15200 |
600 | 102 | 0.17000 |
700 | 120 | 0.17143 |
1000 | 170 | 0.17000 |
2000 | 343 | 0.17150 |
3000 | 560 | 0.16867 |
上面提到的這個(gè)有關(guān)相對頻率的經(jīng)驗值又被稱(chēng)為大數定律，是頻率理論學(xué)家定義概率論的基礎。然而沒(méi)有人可以將骰子無(wú)限地扔下去，因此在實(shí)踐中也就無(wú)法有力的證明大數定律，許多來(lái)自數學(xué)理論的論證至今也沒(méi)有取得成功。盡管如此，統計概率在今天的實(shí)踐中具有重要意義，它是數理統計的基礎。
完全概率
n個(gè)事件
例如，一個(gè)隨機試驗工具由一個(gè)骰子和一個(gè)柜子中的三個(gè)抽屜組成，抽屜1里有14個(gè)白球和6個(gè)黑球，抽屜2里有2個(gè)白球和8個(gè)黑球，抽屜3里有3個(gè)白球和7個(gè)黑球，試驗規則是首先擲骰子，如果獲得小于4點(diǎn)，則抽屜1被選擇，如果獲得4點(diǎn)或者5點(diǎn)，則抽屜2被選擇，其他情況選擇抽屜3。然后在選擇的抽屜里隨機抽出一個(gè)球，最后抽出的這個(gè)球是白球的概率是：
從例子中可看出，完全概率特別適合于分析具有多層結構的隨機試驗的情況。
貝葉斯定理
貝葉斯定理由英國數學(xué)家貝葉斯(Thomas Bayes,1702-1761)發(fā)展，用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系，比如
一座別墅在過(guò)去的20年里一共發(fā)生過(guò)2次被盜，別墅的主人有一條狗，狗平均每周晚上叫3次，在盜賊入侵時(shí)狗叫的概率被估計為0.9，問(wèn)題是：在狗叫的時(shí)候發(fā)生入侵的概率是多少？
人們假設A事件為狗在晚上叫，B為盜賊入侵，則
另一個(gè)例子，現分別有A，B兩個(gè)容器，在容器A分別有7個(gè)紅球和3個(gè)白球，在容器B里有1個(gè)紅球和9個(gè)白球，現已知從這兩個(gè)容器里任意抽出了一個(gè)球，且是紅球，問(wèn)這個(gè)紅球是來(lái)自容器A的概率是多少?
假設已經(jīng)抽出紅球為事件B，從容器A里抽出球為事件A，則有：
雖然概率論最早產(chǎn)生于17世紀，然而其公理體系卻在20世紀的20至30年代才建立起來(lái)并得到迅速發(fā)展，在過(guò)去的半個(gè)世紀里概率論在越來(lái)越多的新興領(lǐng)域顯示了它的應用性和實(shí)用性，例如：物理、化學(xué)、生物、醫學(xué)、心理學(xué)、社會(huì )學(xué)、政治學(xué)、教育學(xué)，經(jīng)濟學(xué)以及幾乎所有的工程學(xué)等領(lǐng)域。
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
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