梅森素數（以馬林·梅森命名的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)）
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梅森素數
以馬林·梅森命名的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)
梅森素數是專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，拼音為méi sēn sù shù，是由梅森數而來(lái)。
基本信息
| 中文名 | 梅森素數 |
| 外文名 | Mersenne prime |
| 別名 | 2p－1型素數 |
| 出處 | 以馬林·梅森的名字命名 |
| 問(wèn)題和猜想 | 梅森素數是否無(wú)窮、如何分布 |
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基本概況
素數是指在大于1的整數中只能被1和其自身整除的數。素數有無(wú)窮多個(gè)，但到2018年底卻只發(fā)現有51個(gè)素數能表示成2 －1（p為素數）的形式，這就是梅森素數（如3、7、31、127等等）。它是以17世紀法國數學(xué)家馬林·梅森的名字命名。
梅森素數是數論研究中的一項重要內容，自古希臘時(shí)代起人們就開(kāi)始了對梅森素數的探索。由于這種素數具有著(zhù)獨特的性質(zhì)（比方說(shuō)和完全數密切相關(guān)）和無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)一直吸引著(zhù)眾多數學(xué)家（包括歐幾里得、費馬、歐拉等）和無(wú)數的數學(xué)愛(ài)好者對它進(jìn)行探究。
在現代，梅森素數在計算機科學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有重要的應用價(jià)值。它還是人類(lèi)好奇心、求知欲和榮譽(yù)感的最好見(jiàn)證。
由來(lái)
梅森素數
1640年6月，費馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中寫(xiě)道：“在艱深的數論研究中，我發(fā)現了三個(gè)非常重要的性質(zhì)，我相信它們將成為今后解決素數問(wèn)題的基礎?！边@封信討論了形如2 －1的數。
馬林·梅森是當時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物，他與包括費馬在內的很多科學(xué)家經(jīng)常保持通信聯(lián)系，討論數學(xué)、物理等問(wèn)題。17世紀時(shí)，學(xué)術(shù)刊物和科研機構還沒(méi)有創(chuàng )立，交往廣泛、熱情誠摯的梅森就成了歐洲科學(xué)家之間聯(lián)系的橋梁，許多科學(xué)家都樂(lè )于將成果告訴他，然后再由他轉告給更多的人。梅森還是法蘭西學(xué)院的奠基人，為科學(xué)事業(yè)做了很多有益的工作，被選為“100位在世界科學(xué)史上有重要地位的科學(xué)家”之一。
梅森在歐幾里得、費馬等人有關(guān)研究的基礎上對2 －1作了大量的計算、驗證，并于1644年在他的《物理數學(xué)隨感》一書(shū)中斷言：在不大于257的素數中，當p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時(shí)，2 －1是素數，其它都是合數。前面的7個(gè)數（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所證實(shí)，而后面的4個(gè)數（即31、67、127、257）則是梅森自己的推斷。由于梅森在科學(xué)界有著(zhù)崇高的學(xué)術(shù)地位，人們對其斷言都深信不疑。
尋找歷程
手算筆錄時(shí)代
在計算能力低下的公元前，人們僅知道四個(gè)2 －1型素數：3、7、31和127，發(fā)現人已無(wú)從考證。15世紀，又一個(gè)沒(méi)有留下姓名的人在其手稿中給出了第5個(gè)2 －1型素數：8191。而在梅森之前，意大利數學(xué)家卡塔爾迪（1548～1626）也對這種類(lèi)型的數進(jìn)行了整理，他在1588年提出131071和524287也是素數，由此成為第一個(gè)在發(fā)現者榜單上留名的人。
手算筆錄的時(shí)代，每前進(jìn)一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪之后近200年，瑞士數學(xué)家歐拉（1707～1783）在雙目失明的情況下，靠心算證明了2147483647是一個(gè)素數。這是人們找到的第8個(gè)梅森素數，它共有10位數，堪稱(chēng)當時(shí)世界上已知的最大素數。歐拉還證明了歐幾里得關(guān)于完全數定理的逆定理：所有的偶完全數都具有2 (2 －1) 的形式，其中2 －1是素數。這表明梅森素數和偶完全數是一一對應的。
梅森素數
梅森素數
梅森素數
1883年，俄國數學(xué)家波佛辛（1827～1900）利用盧卡斯定理證明了 也是素數——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個(gè)素數：和，它們分別在1911年和1914年被數學(xué)家鮑爾斯（1875～1952）發(fā)現。
盧卡斯第一個(gè)否定了“M為素數”這一自梅森斷言以來(lái)一直被人們相信的結論，但他未能找到其因子。直到1903年，才由數學(xué)家科爾（1861～1926）算出M=193707721×761838257287。1922年，數學(xué)家克萊契克（1882～1957）進(jìn)一步驗證了M并不是素數，而是合數。
在手工計算的漫長(cháng)年代里，人們歷盡艱辛，一共只找到12個(gè)梅森素數。
計算機時(shí)代
20世紀30年代，美國數學(xué)家萊默（1905～1991）改進(jìn)了盧卡斯的工作，給出了一個(gè)針對M的新的素性測試方法，即盧卡斯-萊默檢驗法：M>3是素數當且僅當L=0，其中L=4，L=（L－2）modM。這一方法在“計算機時(shí)代”發(fā)揮了重要作用。
美國伊利諾伊大學(xué)發(fā)行的紀念郵戳
梅森素數
梅森素數
梅森素數
1952年，美國數學(xué)家魯濱遜（1911～1995）在萊默指導下將此方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在幾個(gè)月內，就找到了5個(gè)梅森素數： 、 、 、和。其后，在1957年被黎塞爾（1929～ 2014）證明是素數；和 在1961年被赫維茲（1937～ ）證明是素數。
梅森素數
1963年，美國數學(xué)家吉里斯（1928～1975）證明 和 是素數。
梅森素數
梅森素數
以IBM360為代表的第三代計算機的出現加快了梅森素數的尋找步伐，但隨著(zhù)指數p值的增大，每一個(gè)梅森素數的產(chǎn)生反而更加艱難。1971年3月4日晚，塔克曼（1915～2002）使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構（包括中國的新華社）都報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾（1960～ ）和尼科爾使用Cyber-174型計算機找到了第25個(gè)梅森素數。
梅森素數
發(fā)現M1257787的Cray-T94型計算機
梅森素數
梅森素數
伴隨數學(xué)理論的改善，為尋找梅森素數而使用的計算機也越來(lái)越強大，其中包括了著(zhù)名的超級計算機Cray系列。1979年4月，美國克雷公司計算機專(zhuān)家史洛溫斯基使用Cray-1型計算機找到梅森素數。使用經(jīng)過(guò)改進(jìn)的Cray-XMP型計算機在1982年至1985年間找到了3個(gè)梅森素數： 、和。但他未能確定M和M之間是否有異于M的梅森素數。
梅森素數
1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-SX2型超高速并行計算機果然發(fā)現。沉寂四年之后，哈威爾實(shí)驗室（英國原子能技術(shù)權威機構）的一個(gè)研究小組宣布他們找到梅森素數。
梅森素數
梅森素數
1994年1月10日，史洛溫斯基和蓋奇再次奪回發(fā)現已知最大素數的桂冠——這一素數是。而下一個(gè)梅森素數 仍是他們的成果，史洛溫斯基由于發(fā)現7個(gè)梅森素數，而被人們譽(yù)為“素數大王” 。1996年發(fā)現的M是迄今為止最后一個(gè)由超級計算機發(fā)現的梅森素數，數學(xué)家使用了Cray-T94，這也是人類(lèi)發(fā)現的第34個(gè)梅森素數。
互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代
使用超級計算機尋找梅森素數實(shí)在太昂貴了，而且可以參與的人也有限，網(wǎng)格這一嶄新技術(shù)的出現使梅森素數的搜尋又重新回到了“人人參與”的大眾時(shí)代。20世紀90年代中后期，在美國程序設計師沃特曼和庫爾沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計算項目——因特網(wǎng)梅森素數大搜索（GIMPS）。人們只要在GIMPS的主頁(yè)上下載一個(gè)計算梅森素數的免費程序，就可以立即參加該項目來(lái)搜尋新的梅森素數。
梅森素數
1996年至1998年，GIMPS找到了3個(gè)梅森素數： 、和，發(fā)現者來(lái)自法國、英國和美國。
梅森素數
柯蒂斯·庫珀多次發(fā)現“最大素數”
梅森素數
梅森素數
梅森素數
梅森素數
梅森素數
進(jìn)入21世紀，隨著(zhù)個(gè)人計算機的進(jìn)一步普及和計算速度的提升，人們又找到不少更大的梅森素數。加拿大青年志愿者卡梅倫在2001年11月找到，拉開(kāi)了新世紀尋找梅森素數的序幕。此后在2003年至2006年間，GIMPS又相繼發(fā)現5個(gè)梅森素數： 、 、 、和，最大素數紀錄距離1000萬(wàn)位大關(guān)越來(lái)越近。
梅森素數
梅森素數
此后一年內，又有兩個(gè)1000萬(wàn)位以上的梅森素數被德國和挪威的志愿者先后找出。距史密斯的發(fā)現僅相隔兩個(gè)星期，而2009年4月找到的 與史密斯發(fā)現的素數相比“僅”相差14萬(wàn)位數。
梅森素數
2013年和2016年，美國中央密蘇里大學(xué)數學(xué)教授柯蒂斯·庫珀利用校區內的800臺電腦連續發(fā)現了兩個(gè)梅森素數 和。后者其實(shí)早在2015年9月就已經(jīng)被電腦計算出結果，但由于一臺協(xié)調計算結果的電腦服務(wù)器出了點(diǎn)故障，這一結果直到2016年1月服務(wù)器例行維護時(shí)才被發(fā)現。庫珀通過(guò)GIMPS項目總共發(fā)現了四個(gè)梅森素數。
梅森素數
2018年4月8日，在發(fā)現M超過(guò)9年后，該數已被確定為第47個(gè)梅森素數。
梅森素數表
至2018年12月，總計發(fā)現51個(gè)梅森素數，并且確定M位于梅森素數序列中的第47位。現把它們的數值、位數、發(fā)現時(shí)間、發(fā)現者等列表如下：
M1～M12
序號 | p | 梅森素數 | 位數 | 發(fā)現時(shí)間 | 發(fā)現者 |
 梅森素數 | 2 | 3 | 1 | 古代 | 古人 |
 梅森素數 | 3 | 7 | 1 | 古代 | 古人 |
 | 5 | 31 | 2 | 古代 | 古人 |
 | 7 | 127 | 3 | 古代 | 古人 |
 梅森素數 | 13 | 8191 | 4 | 1456年 | 無(wú)名氏 |
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M13～M34
序號 | p | 位數 | 發(fā)現時(shí)間 | 發(fā)現者 | 計算機 |
 | 521 | 157 | 1952 / 01 / 30 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素數 | 607 | 183 | 1952 / 01 / 30 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 | 1,279 | 386 | 1952 / 06 / 25 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素數 | 2,203 | 664 | 1952 / 10 / 07 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
 梅森素數 | 2,281 | 687 | 1952 / 10 / 09 | Raphael MitchelRobinson | SWAC |
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M35～M51
序號 | p | 位數 | 發(fā)現時(shí)間 | 發(fā)現者 | 國家 |
 | 1,398,269 | 420,921 | 1996 / 11 / 13 | GIMPS / Joel Armengaud | 法國 |
 | 2,976,221 | 895,932 | 1997 / 08 / 24 | GIMPS / Gordon Spence | 英國 |
 | 3,021,377 | 909,526 | 1998 / 01 / 27 | GIMPS / Roland Clarkson | 美國 |
 | 6,972,593 | 2,098,960 | 1999 / 06 / 01 | GIMPS / NayanHajratwala | 美國 |
 | 13,466,917 | 4,053,946 | 2001 / 11 / 14 | GIMPS / MichaelCameron | 加拿大 |
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注：
1.各表分別列出人工、借助計算機以及通過(guò)GIMPS項目發(fā)現的梅森素數。
2.目前還不確定在M47和M51之間是否還存在未知的梅森素數，其后的序號用 * 標出。
3.后兩表梅森素數的數值從略。
GIMPS項目
EFF向獲獎?wù)撸ㄓ乙唬╊C發(fā)獎金
為了激勵人們尋找梅森素數和促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設在美國舊金山的電子前沿基金會(huì )（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過(guò)GIMPS項目來(lái)尋找新的更大的梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個(gè)找到超過(guò)100萬(wàn)位數的個(gè)人或機構頒發(fā)5萬(wàn)美元。后面的獎金依次為：超過(guò)1000萬(wàn)位數，10萬(wàn)美元；超過(guò)1億位數，15萬(wàn)美元；超過(guò)10億位數，25萬(wàn)美元。除此之外，根據EFF關(guān)于獎金設立的新規定，任何一位新梅森素數的發(fā)現者都將獲得3000美元的研究發(fā)現獎。其實(shí)絕大多數志愿者參與該項目并不是為了金錢(qián)，而是出于樂(lè )趣、榮譽(yù)感和探索精神。
目前人們通過(guò)GIMPS項目已找到17個(gè)梅森素數，其發(fā)現者來(lái)自美國（11個(gè)）、英國（1個(gè)）、法國（1個(gè)）、德國（2個(gè)）、加拿大（1個(gè)）和挪威（1個(gè)）。世界上有190多個(gè)國家和地區超過(guò)60萬(wàn)人參加了這一國際合作項目，并動(dòng)用了上百萬(wàn)臺計算機（CPU）聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素數。該項目的計算能力已超過(guò)當今世界上任何一臺最先進(jìn)的超級矢量計算機的計算能力，運算速度達到每秒2300萬(wàn)億次。著(zhù)名的《自然》雜志說(shuō)：GIMPS項目不僅會(huì )進(jìn)一步激發(fā)人們對梅森素數尋找的熱情，而且會(huì )引起人們對網(wǎng)格技術(shù)應用研究的高度重視。
意義
梅森素數自古以來(lái)就是數論研究的一項重要內容，歷史上有不少大數學(xué)家都專(zhuān)門(mén)研究過(guò)這種特殊形式的素數。自古希臘時(shí)代起直至17世紀，人們尋找梅森素數的意義似乎只是為了尋找完全數。但自梅森提出其著(zhù)名斷言后，特別是歐拉證明了歐幾里得關(guān)于完全數定理的逆定理以來(lái)，偶完全數已僅僅是梅森素數的一種“副產(chǎn)品”了。
尋找梅森素數在當代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數是目前發(fā)現已知最大素數的最有效途徑。自歐拉證明M為當時(shí)最大的素數以來(lái)，在發(fā)現已知最大素數的世界性競賽中，梅森素數幾乎囊括了全部冠軍。
尋找梅森素數是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段，如M就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時(shí)得到的。梅森素數在推動(dòng)計算機功能改進(jìn)方面發(fā)揮了獨特作用。發(fā)現梅森素數不僅需要高功能的計算機，還需要素數判別和數值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設計技術(shù)等等，因此它的研究推動(dòng)了“數學(xué)皇后” ——數論的發(fā)展，促進(jìn)了計算數學(xué)和程序設計技術(shù)的發(fā)展。
尋找梅森素數最新的意義是：它促進(jìn)了分布式計算技術(shù)的發(fā)展。從最新的17個(gè)梅森素數是在因特網(wǎng)項目中發(fā)現這一事實(shí)，可以想象到網(wǎng)絡(luò )的威力。分布式計算技術(shù)使得用大量個(gè)人計算機去做本來(lái)要用超級計算機才能完成的項目成為可能，這是一個(gè)前景非常廣闊的領(lǐng)域。它的探究還推動(dòng)了快速傅立葉變換的應用。
梅森素數在實(shí)用領(lǐng)域也有用武之地，現在人們已將大素數用于現代密碼設計領(lǐng)域。其原理是：將一個(gè)很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個(gè)素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。
由于梅森素數的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，也由于發(fā)現新的“大素數”所引起的國際影響，使得對于梅森素數的研究能力已在某種意義上標志著(zhù)一個(gè)國家的科技水平，而不僅僅是代表數學(xué)的研究水平。英國頂尖科學(xué)家、牛津大學(xué)教授馬科斯·索托伊甚至認為它的研究進(jìn)展不但是人類(lèi)智力發(fā)展在數學(xué)上的一種標志，同時(shí)也是整個(gè)科學(xué)發(fā)展的里程碑之一。
梅森素數這顆數學(xué)海洋中的璀璨明珠正以其獨特的魅力，吸引著(zhù)更多的有志者去尋找和研究。
理論探索
梅森素數的計算公式
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M
P是梅森數的指數，M是P以下的梅森素數的個(gè)數。
以下是計算的數值與實(shí)際數的情況：
指數5，計算2.947，實(shí)際3 ，誤差0.053；
指數7，計算3.764，實(shí)際4 ，誤差 0.236；
指數13，計算4.891，實(shí)際5，誤差0.109；
指數17，計算5.339，實(shí)際6，誤差0.661；
指數19，計算5.766，實(shí)際7，誤差1.234；
指數31，計算6.746，實(shí)際8，誤差1.254；
指數61，計算8.445，實(shí)際9，誤差0.555；
指數89，計算9.201，實(shí)際10，誤差0.799；
指數107，計算9.697，實(shí)際11，誤差1.303；
指數127，計算10.036 ，實(shí)際12，誤差1.964；
指數521，計算13.818，實(shí)際13，誤差-0.818；
指數607，計算14.259，實(shí)際14，誤差-0.259；
指數1279，計算16.306，實(shí)際15，誤差-1.306；
指數2203，計算17.573，實(shí)際16，誤差-1.573；
指數2281，計算17.941，實(shí)際17，誤差-0.941；
這個(gè)公式是根據梅森素數的分布規律得出的。萬(wàn)數1為首，1被除外了，所以要減去1。在不考慮重疊問(wèn)題，應該P減1就可以了，這里已考慮重疊問(wèn)題，所以就P減1.2.在梅森數的指數漸漸增大，1.2是否合適，還要等實(shí)際檢驗。
在2^N-1的數列中，一個(gè)素數作為素因子第一次出現在指數N的數中，這個(gè)素數作為因子數在2^N-1數列中就以N為周期出現。在這種數列中指數是偶數的都等于3乘以四倍金字塔數。
在2^N-1數列中，指數大于6的，除梅森素數外，都有新增一個(gè)或一個(gè)以上的素數為因子數，新增的因子數減1能被這個(gè)指數整除。
一個(gè)梅森合數的因子數只有唯一一次出現在一個(gè)梅森合數中。
一個(gè)是梅森素數的素數，它永遠不是梅森合數的因子數。
一個(gè)是前面的梅森合數的因子數的素數，它永遠不會(huì )是后面的梅森合數的因子數。
所有梅森合數的因子數減1都能被這個(gè)梅森合數的指數整除，商是偶數。
一個(gè)素數在不是梅森合數的準梅森數中第一次以因子數出現，這個(gè)素數減1能被這個(gè)準梅森數的指數整除，商不一定是偶數。
梅森素數都在[4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)]*6+1數列中，括符里種數暫叫四倍金字塔數。
凡是一個(gè)素數是四倍金字塔數的因子數，以后就不是梅森合數的因子數。
在4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)數列中的數，有不等于6NM+-（N+M）的數乘以6加上1都是梅森素數。
在2^P-1平方根以下的素數都以素因子在以前準梅森數中出現了，那這個(gè)梅森數必是梅森素數。但它的逆定理是不成立的。如果還沒(méi)有出現在以前的準梅森數中的素數，它也不定是梅森合數的因子數。
梅森合數的因子數都是8N+1和8N-1形的素數。
試證梅森素數
在指數n是無(wú)限多的2^n-1數列中梅森數和梅森素數只占其中的很少比例。
根據費馬小定理，每一個(gè)奇素數都會(huì )以數因子出現在2^n-1數列中，只不過(guò)有些提前出現，有些最后出現。只有梅森素數是最早出現在這個(gè)數列中的。其他有素數都不會(huì )最早出現，最遲出現的素數是在本數減1的數中，也就是費馬小定理的地方。
每一個(gè)奇素數都十分有規律作為因子數出現在2^n-1數列中，一個(gè)素數第一次出現在2^n-1數中（包括梅森素數），這個(gè)素數就以n為周期反復出現在2^n-1數列中，如3第一次出現在n=2中，指數能被2整除的都有3的因子數;7第一次出現在n=3，指數能被3整除的都有7的因子數;5第一次出現在n=4中，指數能被4整除都有5的因子數。一個(gè)素數出現在2^n-1數列n中，不管n是素數不是素數，只要用小于n的全部奇素數去篩，指數n都在其中。如果是合數與前面的素數是重疊的，所以不用重篩了。
要篩完2^n-1數列中所有數因子，必需用少于或等于2^n-1平方根以?xún)鹊乃兴財等ズY，這樣剩下沒(méi)有篩的就是梅森素數了。
梅森素數的篩法
根據費馬小定理，每一個(gè)奇素數都會(huì )以素因子的身份出現在2^n-1數列中，只不過(guò)有些出現早，有些出現遲。
每一個(gè)奇素數第一次出現在2^n-1數列指數n的數中，這個(gè)n就是這個(gè)素數的對應數，它就以n為周期反復出現。
已經(jīng)知道梅森素數都出現在梅森數中。只要篩去梅森數中的梅森合數，剩下就是梅森素數。
將梅森數列展開(kāi)，從3的對應數2開(kāi)始，2點(diǎn)一點(diǎn)；5的對應數是4，4是合數，就不用操作；7的對應數是3，在3點(diǎn)一點(diǎn)；11的對應數是10，是合數，不用操作；13的對應數是12，12是合數，不用操作；這樣一直點(diǎn)下去，點(diǎn)到梅森數的指數以前的數都能篩凈。凡是一個(gè)梅森數點(diǎn)上兩次和兩次以上的都給劃去，剩下就是只有點(diǎn)一次的梅森數了，這些梅森數全是梅森素數。
這個(gè)篩法在素數很大時(shí)找它的對應數有點(diǎn)困難。
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