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羅爾中值定理
微分學(xué)中一條重要的定理
三大微分中值定理之一
證明過(guò)程
幾何意義
若連續曲線(xiàn)
在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線(xiàn)，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn) A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點(diǎn) C，使曲線(xiàn)在C點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于 x 軸。
幾種特殊情況
（1）有界開(kāi)區間上的有界函數
若函數
在區間
上連續且可導，并有
，則至少存在一個(gè)
，使得
。
（2）有界區間上的無(wú)界函數
若函數 在區間 上連續且可導，并有
（或
），則至少存在一個(gè)，使得。
（3）無(wú)界區間上的有界函數
若函數 在區間
上連續且可導，并有
，則至少存在一個(gè)
，使得。
（4）無(wú)界區間上的無(wú)界函數
若函數 在區間
上連續且可導，并有
（或），則至少存在一個(gè)，使得。
（5）半無(wú)界區間上的有界函數
若函數 在區間[
)上連續且可導，并有
，則至少存在一個(gè)
，使得。
（6）半無(wú)界區間上的無(wú)界函數
若函數 在區間[ )上連續且可導，并有
（或），則至少存在一個(gè)，使得。
證明
這里僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其余證明的思路大致類(lèi)似。
定理 若函數 在區間 上連續且可導，并有。則至少存在一個(gè)，使得。
證明：至少可取到一點(diǎn)
，使
，否則 恒等于
，對于任意的實(shí)數
，都有。
不妨設
，取
，顯然
。根據極限定義，由
可得
任取
，則有
，
。
利用
，類(lèi)似地可知存在
，使
。
定理 若函數 在區間 上連續且可導，并有
。則至少存在一個(gè)，使得。
證明：任取，因為
，所以至少存在一點(diǎn)
，使
。
類(lèi)似地由 可知存在一點(diǎn)
，使
。
這就有了
且，
于是，在閉區間
上連續，則在閉區間 上必有 的最小值點(diǎn)，由于閉區間 的兩個(gè)端點(diǎn)都不可能是 的最小值點(diǎn)，由此可知，根據費馬定理可知。
范例解析
用羅爾中值定理證明：方程
3
在 (0,1) 內有實(shí)根。
證明：設
則 F(x) 在 [0,1] 上連續，在 (0,1) 內可導，
，
所以由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)
，使得
，
所以
，
所以ξ是方程
在 (0,1) 內的一個(gè)實(shí)根。
結論得證。
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